BLOG ALA KADARNYA: April 2014

CARA MUDAH MENYELESAIKAN LIMIT DENGAN L'HOPITAL

Cara mudah menyelesaikan limit selain dengan menggunakan pemfaktoran atau perkalian sekawan adalah dengan menggunakan aturan L'Hopital, bagaimanakah aturan L'Hopital tersebut? sebelum mempelajari limit L'Hopital disarankan mempelajari turunan terlebih dahulu, kami anggap Anda telah mahir dalam turunan, baiklah kita pelajari aturan L'Hopital sebagai berikut:

Teorema L'Hopital (hanya berlaku untuk limit bentuk 0/0)

Andaikan $\lim_{x \to c}f(x)=0$ dan $\lim_{x \to c}g(x)=0$ , apabila $\lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ maka nilai $\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$

Contoh penggunaan pada limit aljabar:
1. Nilai dari $\lim_{x \to 2}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=....$
Ingat, pastikan jika x = 2 dimasukan ke persamaan hasilnya 0/0
Kita turunkan pembilang dan penyebut, diperoleh:
$\lim_{x \to 2}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{2x+3}{1}$
Selanjutnya kita ganti x dengan 2, sehingga diperoleh:
$\frac{2(2)+3}{1}=7$
Jadi nilai dari $\lim_{x \to 2}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=7$

2. Nilai dari $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x^2+5}}{x-2}=....$
Ingat, pastikan jika x = 2 dimasukan ke persamaan hasilnya 0/0
Turunkan pembilang dan penyebut, untuk mengetahui aturan turunan bentuk ini, silakan klik di sini
$\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x^2+5}}{x-2}= \lim_{x \to 2}\frac{-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}}{1}$
Selanjutnya kita ganti x = 2, sehingga diperoleh:
$\frac{-\frac{2(2)}{2\sqrt{(2)^2+5}}}{1}=-\frac{2}{3}$
Jadi dapat kita simpulkan bahwa:

$\lim_{x \to 2}\frac{2-\sqrt{(x)^2+5}}{1}=-\frac{2}{3}$

Catatan:
1. Ingat, pastikan limit ini jika di substitusi langsung bentuknya 0/0
2. Jika turunan pertama masih menghasilkan 0/0, turunkan kembali sampai bentuknya bukan 0/0
3. Jika sudah berbentuk bukan 0/0 jangan dilanjutkan menurunkan, solusinya pasti salah

Semoga dapat dipahami dan bermanfaat
Salam
AnaLisis

RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR

Kali ini saya akan mencoba menguraikan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, seperti apakah yang akan diuraikan? oke langsung saja.

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ , yang memiliki akar-akar P dan Q, maka berlaku rumus $P+Q=\frac{-b}{a}$ dan $PQ=\frac{c}{a}$

Buktinya
Pertama, kita mulai dari persamaan kuadrat yang diketahui:
$ax^2+bx+c=0$
Masing-masing kita bagi dengan a, diperoleh:
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
...... (1)

Kedua, kita susun persamaan kuadrat dengan akar-akar P dan Q yaitu:
$(x-P)(x-Q)=0$
$x^2-Px-Qx+PQ=0$
$x^2-(P+Q)x+PQ=0$
...... (2)

Selanjutnya, kita cocokan antara persamaan (1) dan (2) diperoleh lah hubungan:

$-(P+Q)=\frac{b}{a}\Leftrightarrow (P+Q)=-\frac{b}{a}$
dan
$PQ=\frac{c}{a}$

TERBUKTI

BENTUK JUMLAH DAN HASIL KALI

Rumus Cepat - Pada kesempatan kali ini, Saya akan mengajak Anda untuk membuktikan rumus cepat untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kali lebih besar sekaligus k lebih dari akar-akar lama. Seperti apa rumusnya? langsung saja yuk.

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar P dan Q, maka persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (nP + k) dan (nQ + k) adalah $a(x-k)^2+ bn(x-k)+cn^2=0$

Berikut bukti kongkritnya
Pertama, kita gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu:
$P+Q=\frac{-b}{a}$
$PQ=\frac{c}{a}$

Selanjutnya, persamaan kuadrat baru kita misalkan saja M = (nP + k) dan N = (nQ + k), maka jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru adalah:
M + N = $(nP+k)+(nQ+k)=n(P+Q)+2k$
$\Leftrightarrow n\frac{-b}{a}+2k=\frac{-bn+2ak}{a}$

MN = $(nP+k)(nQ+k)=n^2PQ+nk(P+Q)+k^2$
$\Leftrightarrow n^2(\frac{c}{a})+nk(\frac{-b}{a})+k^2 =\frac{cn^2-bnk+ak^2}{a}$

Selanjutnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya M dan N adalah
$x^2-(M+N)x+MN=0$

$x^2-\left ( \frac{-bn+2ak}{a} \right )x+\left ( \frac{cn^2-bnk+ak^2}{a} \right )=0$
$x^2+ \frac{(bn-2ak)x}{a} +\left ( \frac{cn^2-bnk+ak^2}{a} \right )=0$
$ax^2+ (bn-2ak)x +(cn^2-bnk+ak^2)=0$
$ax^2+ bnx-2akx +(cn^2-bnk+ak^2)=0$
$(ax^2-2akx +ak^2)+ (bnx-bnk)+cn^2=0$
$a(x^2-2kx +k^2)+ bn(x-k)+cn^2=0$
$a(x-k)^2+ bn(x-k)+cn^2=0$
TERBUKTI

RUMUS YANG AKARNYA N KALI AKAR LAMA

Rumus Cepat - Pada kesempatan ini, Saya akan mengajak Anda untuk membuktikan rumus cepat untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kali akar-akar yang lama. Baiklah langsung saja ke intinya.

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan akar-akar P dan Q, maka persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar nP dan nQ adalah $ax^2+nbx+n^2c=0$

BUKTI
Kita gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
(1) Jumlah akar-akar
$P+Q=\frac{-b}{a}$

(2) Hasil kali akar-akar
$PQ=\frac{c}{a}$

Akar-akar persamaan kuadrat baru kita misalkan sebagai K = nP dan L = nQ, maka:
(3) Jumlah akar-akar baru
$K+L=n(P+Q)=\frac{-nb}{a}$

(4) Hasil kali akar-akar baru
$KL=n^2PQ=\frac{n^2c}{a}$

Selanjutnya, persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar K dan L adalah:
$x^2-(K+L)x+KL=0$
$x^2-(\frac{-nb}{a})x+\frac{n^2c}{a}=0$
$x^2+\frac{nb}{a}x+\frac{n^2c}{a}=0$
$ax^2+nbx+n^2c=0$

TERBUKTI

RUMUS YANG AKARNYA N LEBIH DARI AKAR LAMA

Rumus Cepat - Pada kesempatan ini, Saya akan mengajak Anda untuk membuktikan rumus cepat untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebih besar dari akar-akar yang lama. Baiklah langsung saja ke intinya

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar P dan Q, maka persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (P + n) dan (Q + n) adalah
$a(x-n)^2+b(x -n)+c=0$ .

BUKTI
Kita gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
(1) Jumlah akar-akar
$P+Q=\frac{-b}{a}$

(2) Hasil kali akar-akar
$PQ=\frac{c}{a}$

Akar-akar persamaan kuadrat baru kita misalkan K = (P + n) dan L = (Q + n), maka:
(3) Jumlah akar-akar baru
(P + n) + (Q + n) = P + Q + 2n
$\Leftrightarrow \frac{-b}{a}+2n =\frac{2an-b}{a}$

(4) Hasil kali akar-akar baru
(P + n)(Q + n) = PQ + n(P + Q) + n²
$\Leftrightarrow \frac{c}{a}+n(\frac{-b}{a})+n^2 =\frac{c-nb+an^2}{a}$

Selanjutnya, kita tinjau persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar P dan Q adalah:
$x^2-(P+Q)x+PQ=0$

Karena jumlah dan hasil kali merupakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru maka:
$x^2-(K+L)x+KL=0$
$x^2-(\frac{2an-b}{a})x+(\frac{c-nb+an^2}{a})=0$
$ax^2-(2an-b)x+(c-nb+an^2)=0$
$ax^2-2anx+bx+(c-nb+an^2)=0$
$(ax^2-2anx+an^2)+(bx-nb)+c=0$
$a(x^2-2nx+n^2)+b(x-n)+c=0$
$a(x-n)^2+b(x-n)+c=0$

TERBUKTI

CARA MUDAH MENYELESAIKAN LIMIT DENGAN L'HOPITAL

RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR

BENTUK JUMLAH DAN HASIL KALI

RUMUS YANG AKARNYA N KALI AKAR LAMA

RUMUS YANG AKARNYA N LEBIH DARI AKAR LAMA

Latihan UN 2013 IPS