BLOG ALA KADARNYA: 04/24/14

RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR

Kali ini saya akan mencoba menguraikan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, seperti apakah yang akan diuraikan? oke langsung saja.

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ , yang memiliki akar-akar P dan Q, maka berlaku rumus $P+Q=\frac{-b}{a}$ dan $PQ=\frac{c}{a}$

Buktinya
Pertama, kita mulai dari persamaan kuadrat yang diketahui:
$ax^2+bx+c=0$
Masing-masing kita bagi dengan a, diperoleh:
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
...... (1)

Kedua, kita susun persamaan kuadrat dengan akar-akar P dan Q yaitu:
$(x-P)(x-Q)=0$
$x^2-Px-Qx+PQ=0$
$x^2-(P+Q)x+PQ=0$
...... (2)

Selanjutnya, kita cocokan antara persamaan (1) dan (2) diperoleh lah hubungan:

$-(P+Q)=\frac{b}{a}\Leftrightarrow (P+Q)=-\frac{b}{a}$
dan
$PQ=\frac{c}{a}$

TERBUKTI

BENTUK JUMLAH DAN HASIL KALI

Rumus Cepat - Pada kesempatan kali ini, Saya akan mengajak Anda untuk membuktikan rumus cepat untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kali lebih besar sekaligus k lebih dari akar-akar lama. Seperti apa rumusnya? langsung saja yuk.

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar P dan Q, maka persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (nP + k) dan (nQ + k) adalah $a(x-k)^2+ bn(x-k)+cn^2=0$

Berikut bukti kongkritnya
Pertama, kita gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu:
$P+Q=\frac{-b}{a}$
$PQ=\frac{c}{a}$

Selanjutnya, persamaan kuadrat baru kita misalkan saja M = (nP + k) dan N = (nQ + k), maka jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru adalah:
M + N = $(nP+k)+(nQ+k)=n(P+Q)+2k$
$\Leftrightarrow n\frac{-b}{a}+2k=\frac{-bn+2ak}{a}$

MN = $(nP+k)(nQ+k)=n^2PQ+nk(P+Q)+k^2$
$\Leftrightarrow n^2(\frac{c}{a})+nk(\frac{-b}{a})+k^2 =\frac{cn^2-bnk+ak^2}{a}$

Selanjutnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya M dan N adalah
$x^2-(M+N)x+MN=0$

$x^2-\left ( \frac{-bn+2ak}{a} \right )x+\left ( \frac{cn^2-bnk+ak^2}{a} \right )=0$
$x^2+ \frac{(bn-2ak)x}{a} +\left ( \frac{cn^2-bnk+ak^2}{a} \right )=0$
$ax^2+ (bn-2ak)x +(cn^2-bnk+ak^2)=0$
$ax^2+ bnx-2akx +(cn^2-bnk+ak^2)=0$
$(ax^2-2akx +ak^2)+ (bnx-bnk)+cn^2=0$
$a(x^2-2kx +k^2)+ bn(x-k)+cn^2=0$
$a(x-k)^2+ bn(x-k)+cn^2=0$
TERBUKTI

RUMUS YANG AKARNYA N KALI AKAR LAMA

Rumus Cepat - Pada kesempatan ini, Saya akan mengajak Anda untuk membuktikan rumus cepat untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kali akar-akar yang lama. Baiklah langsung saja ke intinya.

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan akar-akar P dan Q, maka persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar nP dan nQ adalah $ax^2+nbx+n^2c=0$

BUKTI
Kita gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
(1) Jumlah akar-akar
$P+Q=\frac{-b}{a}$

(2) Hasil kali akar-akar
$PQ=\frac{c}{a}$

Akar-akar persamaan kuadrat baru kita misalkan sebagai K = nP dan L = nQ, maka:
(3) Jumlah akar-akar baru
$K+L=n(P+Q)=\frac{-nb}{a}$

(4) Hasil kali akar-akar baru
$KL=n^2PQ=\frac{n^2c}{a}$

Selanjutnya, persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar K dan L adalah:
$x^2-(K+L)x+KL=0$
$x^2-(\frac{-nb}{a})x+\frac{n^2c}{a}=0$
$x^2+\frac{nb}{a}x+\frac{n^2c}{a}=0$
$ax^2+nbx+n^2c=0$

TERBUKTI

RUMUS YANG AKARNYA N LEBIH DARI AKAR LAMA

Rumus Cepat - Pada kesempatan ini, Saya akan mengajak Anda untuk membuktikan rumus cepat untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebih besar dari akar-akar yang lama. Baiklah langsung saja ke intinya

Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar P dan Q, maka persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (P + n) dan (Q + n) adalah
$a(x-n)^2+b(x -n)+c=0$ .

BUKTI
Kita gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
(1) Jumlah akar-akar
$P+Q=\frac{-b}{a}$

(2) Hasil kali akar-akar
$PQ=\frac{c}{a}$

Akar-akar persamaan kuadrat baru kita misalkan K = (P + n) dan L = (Q + n), maka:
(3) Jumlah akar-akar baru
(P + n) + (Q + n) = P + Q + 2n
$\Leftrightarrow \frac{-b}{a}+2n =\frac{2an-b}{a}$

(4) Hasil kali akar-akar baru
(P + n)(Q + n) = PQ + n(P + Q) + n²
$\Leftrightarrow \frac{c}{a}+n(\frac{-b}{a})+n^2 =\frac{c-nb+an^2}{a}$

Selanjutnya, kita tinjau persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar P dan Q adalah:
$x^2-(P+Q)x+PQ=0$

Karena jumlah dan hasil kali merupakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru maka:
$x^2-(K+L)x+KL=0$
$x^2-(\frac{2an-b}{a})x+(\frac{c-nb+an^2}{a})=0$
$ax^2-(2an-b)x+(c-nb+an^2)=0$
$ax^2-2anx+bx+(c-nb+an^2)=0$
$(ax^2-2anx+an^2)+(bx-nb)+c=0$
$a(x^2-2nx+n^2)+b(x-n)+c=0$
$a(x-n)^2+b(x-n)+c=0$

TERBUKTI

RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR

BENTUK JUMLAH DAN HASIL KALI

RUMUS YANG AKARNYA N KALI AKAR LAMA

RUMUS YANG AKARNYA N LEBIH DARI AKAR LAMA

Latihan UN 2013 IPS